Моя работа основана на модели, разработанной А. Тьюрингом (который ввел концепцию абстрактной "вычислительной машины" - так называемой машины Тьюринга; его труды способствовали созданию современных ЭВМ). В 1952 г. в одной из наиболее важных в теоретической биологии работ Тьюринг ввел химический механизм возникновения узоров на шкуре у животных. Он предположил, что биологическая форма определяется предструктурой, образованной неравномерным распределением (концентрацией) химических веществ, которые он назвал морфогенами. Существование морфогенов до настоящего времени окончательно не установлено, за исключением некоторых косвенных подтверждений. Тем не менее модель Тьюринга до сих пор представляет интерес, поскольку она позволяет объяснить множество экспериментальных результатов с помощью одной или двух простых идей.

Тьюринг начал с предположения о том, что морфогены могут реагировать друг с другом и диффундировать через клетки. Затем он разработал математическую модель, в которой показал, что если морфогены реагируют и диффундируют определенным образом, то из первоначально однородного распределения в скоплении клеток могут возникнуть пространственные структуры в распределении морфогенов. Модель Тьюринга породила целый класс моделей, которые теперь относят к моделям реакционно-диффузионного типа. Эти модели применимы в тех случаях, когда размер пространственной структуры велик по сравнению с размером отдельных клеток, например для шкуры леопарда, поскольку в пятне на его шкуре в момент возникновения структуры имеется, вероятно, около 100 клеток.

Первоначальная работа Тьюринга была развита рядом исследователей, в том числе и мною, в более завершенную математическую теорию. В типичной реакционно-диффузионной модели начинают с того, что вводят два морфогена, которые реагируют друг с другом и диффундируют с различными скоростями. В отсутствие диффузии (например, в случае идеального перемешивания) в результате реакции между двумя морфогенами система должна достигнуть однородного стационарного состояния. Если теперь позволить морфогенам диффундировать с одинаковыми скоростями, то любое пространственное отклонение от этого устойчивого состояния будет сглаживаться. Однако, если скорости диффузии не равны, диффузия может оказывать дестабилизующее влияние: скорости реакции в любой заданной точке могут не успеть достаточно быстро "подстроиться", чтобы система достигла равновесия. Если условия выбраны правильно, то малое пространственное возмущение может стать неустойчивым и начинает расти пространственная структура. Говорят, что такая неустойчивость обусловлена диффузией.

Предложено много конкретных реакционно-диффузионных моделей, основанных на гипотетических или реальных биохимических реакциях, и исследованы их возможности давать пространственные структуры. Эти механизмы включают несколько параметров: скорости реакций, скорости диффузии реагентов и (что особенно важно) геометрию и размеры живой ткани. Поразительное свойство реакционно-диффузионных моделей заключается в тех конечных результатах, которые получаются из первоначально однородного состояния при условиях, когда меняется только один параметр, а остальные фиксированы. Например, предположим, что меняется размер живой ткани. Тогда в какой-то момент времени будет достигнута критическая величина, называемая бифуркационной точкой, в которой однородное стационарное состояние морфогенов становится неустойчивым, и начинает расти пространственная структура.

Наиболее наглядный пример реакционно-диффузионного механизма образования пространственных структур представляют колебательные химические реакции, открытые советскими учеными Б.П. Белоусовым и А.М. Жаботинским в конце 50-х годов. Эти реакции могут быть организованы в пространстве и во времени в форме кольцевых волн. Они могут сопровождаться периодическими колебаниями с точностью часового механизма, что наблюдается по изменению цвета реакционной смеси, например, от голубого до оранжевого и обратно до голубого дважды в течение минуты.

Другой тип реакционно-диффузионных структур в природе был открыт и исследован французским химиком Д. Томасом в 1975 г. Эти структуры возникают при реакции между мочевой кислотой и кислородом на тонкой мембране, внутри которой они могут диффундировать. Хотя мембрана содержит иммобилизированный фермент, катализирующий реакцию, в эмпирическую модель, описывающую ее механизм, входят только два реагента, а фермент не включен. Кроме того, поскольку мембрана тонкая, можно предположить, что процесс протекает в двумерном пространстве.

Я полагаю, что достойным кандидатом для универсального механизма, генерирующего предструктуру раскраски шкуры у млекопитающих, является реакционно-диффузионная система, в которой могут развиваться пространственные структуры, обусловленные диффузией. Такие структуры существенно зависят от геометрии и размеров области, в которой протекает соответствующая химическая реакция. Следовательно, величина и форма зародыша в тот момент, когда активируются реакции, должны определять получившуюся пространственную структуру. (Последующий рост может исказить первоначальную структуру.)

Для реакционно-диффузионного механизма с двумя морфогенами я выбрал такой набор параметров реакций и диффузии, который соответствует диффузионной неустойчивости, и сохранил их неизменными при всех вычислениях. Изменялись только размеры и геометрия рассматриваемой области. При моделировании на компьютере в качестве начальных условий я выбирал случайные возмущения однородного стационарного состояния. Темные или светлые области получившейся структуры - это те, в которых концентрация одного из морфогенов соответственно больше или меньше его концентрации в однородном стационарном состоянии. Даже при таких ограничениях на параметры и начальные условия богатство возможных структур поразительно. Как результаты модели соотносятся с типичными узорами на шкуре и общими признаками, обнаруживаемыми у животных? Я начал с рассмотрения сужающихся цилиндров, чтобы смоделировать узоры на хвостах и лапах животных. Результаты аналогичны тем, что были получены для вибрирующей поверхности: если двумерная область, покрытая пятнами, становится достаточно узкой, то пятна постепенно переходят в полосы.
Леопард (Panthera pardus), гепард (Acinonyx jubatus), ягуар (Panthera оncа) и генета (Genetta genetta) дают хорошие примеры таких структур. Пятна на шкуре у леопарда доходят почти до кончика хвоста. Хвосты у гепарда и ягуара имеют отчетливо выраженные полосатые участки, а у генеты хвост полностью полосатый. Эти наблюдения согласуются с тем, что известно о зародышах этих четырех животных. Хвост у зародыша леопарда резко сужается и сравнительно короткий, поэтому можно ожидать, что на нем могут сохраняться пятна до самого его кончика. (У взрослого леопарда хвост длинный, но в нем столько же позвонков.) Хвост у зародыша генеты соответствует другому крайнему случаю: он имеет почти постоянный, причем довольно малый, диаметр, поэтому на хвосте генеты должны возникать поперечные полосы.

Модель дает также пример запрета на структуры определенного типа, которые действительно наблюдаются у животных исключительно редко. Если в основе механизма формирования предструктуры раскраски шкуры у животных лежит реакционно-диффузионный процесс (или любой другой процесс, который аналогичным образом зависит от размеров и геометрии), запрет обусловлен размерами и геометрией зародыша. В частности, модель допускает, что пятнистое животное может иметь полосатый хвост, но у полосатого животного не может быть пятнистого хвоста.

Чтобы изучить влияние размеров в случае более сложной геометрии, мы рассчитали структуры для обобщенной формы животного, состоящей из тела, головы, четырех конечностей и хвоста (см. рисунки внизу). Мы начинали с маленькой фигуры и постепенно увеличивали ее размер, сохраняя все пропорции. Получено несколько интересных результатов. Если рассматриваемая область очень мала, не возникает никаких структур. По мере увеличения ее размеров происходят последовательные бифуркации: различные узоры внезапно возникают и пропадают. При дальнейшем увеличении размеров структуры получаются более сложными и с большим числом пятен. Однако в случае удлиненной узкой формы полосатый узор сохраняется даже тогда, когда область становится довольно большой. При очень больших размеpax области структура узора делается столь мелкой, что окраска становится опять почти однородной по цвету.

Влияние размеров на моделирумые структуры раскраски для обобщенной формы животного. Увеличение размеров при фиксированных остальных параметрах дает поразительное разнообразие структур. Реакционно-диффузионная модель, разработанная автором данной статьи, согласуется с теми наблюдениями, что маленькие животные, такие как мыши, имеют равномерно окрашенные шкуры, животные промежуточных размеров - узорчатые шкуры, а окраска крупных животных, таких как слоны, снова однородна.

Мы считаем, что момент времени, в который активируется механизм формирования структуры, - наследуемое свойство, поэтому по крайней мере для животных, выживание которых в значительной степени зависит от раскраски, механизм активируется тогда, когда зародыш достигает определенного размера. Конечно, условия на поверхности зародыша в момент активации носят в некоторой степени случайный характер. Реакционно-диффузионная модель дает структуры, которые однозначно зависят от начальных условий, геометрии и размеров. Важная особенность этого механизма заключается в том, что при заданных геометрии и размерах получающиеся структуры для разных случайных начальных условий качественно одинаковы. Например, если структура пятнистая, то меняется только распределение пятен. Этот результат согласуется с тем, что внутри одного вида узор на шкуре животного индивидуален. Такая индивидуальность учитывает отличительные особенности семейства, а также общие групповые особенности.
Предполагают, что моделируемые структуры соответствуют пространственным структурам в распределении морфогенов. Если их концентрация достаточно высока, меланоциты будут вырабатывать пигмент меланин. Для упрощения мы считали, что однородное стационарное состояние соответствует пороговой концентрации и что меланин будет вырабатываться, если концентрация морфогенов равна или больше этой величины. Однако это предположение несколько произвольно. По-видимому, пороговая концентрация может меняться даже внутри одного вида. Чтобы исследовать такие эффекты, были рассмотрены разновидности жирафа. Для заданного характера структуры изменялся параметр, соответствующий пороговой концентрации морфогена для производства меланина. Меняя этот параметр, мы обнаружили, что можем получать структуры, явно напоминающие узоры на шкурах жирафов двух разновидностей (см. рисунок ниже).

Вест и Сюй Южень обнаружили, что низкие частоты колебаний создают простые структуры, а высокие - сложные структуры. Это наблюдение представляет интерес, поскольку было показано, что если структура образуется на пластинке, колеблющейся с заданной частотой, то структура, образующаяся на той же пластинке, колеблющейся с большей частотой, идентична структуре, образующейся на пропорционально увеличенной пластинке, колеблющейся с первоначальной частотой. Таким образом, данные Веста и Сюй Юженя подтверждают вывод о том, что по мере увеличения размеров реакционно-диффузионной области должны возникать все более сложные структуры. Сходство между нашими структурами и структурами, полученными исследователями из Мичиганского университета, поразительно.
Я бы хотел еще раз подчеркнуть, что все структуры были получены только за счет изменения размеров и геометрии реакционной области; все другие параметры были фиксированы (за исключением различных пороговых концентраций в случае жирафа). Даже в этих условиях разнообразие структур замечательно. Модель предлагает также возможное объяснение различных аномалий в раскраске, наблюдаемых у ряда животных. При некоторых условиях изменение величины одного из параметров может вызвать заметное изменение получаемой структуры. Величина этого эффекта зависит от того, насколько близко значение параметра к бифуркационной точке - значению, при котором возникает качественное изменение генерируемой структуры.